Urlaub!

Sommer, Sonne, Sonnenschein

Lust auf einen sonnigen Tag am Strand? Den kann man zum Beispiel in Italien erleben.

Oder doch lieber ein Winterurlaub mit jeder Menge Schnee? Dann ist vielleicht Österreich die richtige Wahl.

Wie auch immer, eines steht nach einem kurzen Blick auf die Landkarte fest: Von Deutschland aus ist die Entfernung nach Österreich kürzer als nach Italien.

Das ist deshalb so einfach zu sagen, weil beide Urlaubsziele im Süden liegen, also in der gleichen Richtung.

Ginge es um die Frage, ob Spanien oder Finnland das nähere Ziel ist, wird es schwieriger ...

Brüche ordnen

Auf den Seiten "Ein Bruch ist eine Zahl" und "Rationale Zahlen" hast Du gelernt, dass ein Bruch eine Zahl ist.

Und was kann man nun mit Zahlen machen? Man kann sie ihrer Größe nach sortieren.

Bei den natürlichen Zahlen ist es offensichtlich, welches die kleinere und welches die größere Zahl ist. Aber bei Brüchen ist das manchmal leider nicht so einfach. Könntest Du auf einen Blick erkennen, ob 3/7 (= Spanien) oder 7/15 (= Finnland) größer ist?

Wann erkenne ich auf einen Blick welcher Bruch größer ist?

Einfach ist es, wenn die beiden Brüche wie Österreich und Italien "in der gleichen Richtung" liegen:

Fall 1: Gleicher Nenner, aber unterschiedliche Zähler

Erinnere Dich, als wir einen Bruch mit Kuchen verglichen haben: Der Zähler stand hierbei für die Anzahl der Stücke, der Nenner gab an, in wieviele Stücke der Kuchen geteilt wurde.

Gleicher Nenner bedeutet also, dass die (Kuchen)-Stücke gleich groß sind.

Je mehr Stücke desto besser, das heißt der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer:

   

5  >  3
8 8

(5 Stück Kuchen sind mehr als 3 Stück Kuchen)

Fall 2: Gleicher Zähler, aber unterschiedliche Nenner

Der Nenner gibt an, in wie viele Stücke der Kuchen geschnitten wurde. Ist der Nenner größer, dann wurde der Kuchen auch in mehr Stücke geteilt. Desto Kleiner sind die Stücke dann natürlich.

Gleicher Zähler bei beiden Brüchen bedeutet, dass die Anzahl der Stücke gleich ist.

Bei gleicher Anzahl Kuchenstücke würde ich natürlich die größeren nehmen:

   

3  >  3
8 12

(es handelt sich jeweils um 3 Stück Kuchen: einmal wurde der Kuchen aber in 8 Stücke und einmal in 12 Stücke geteilt - im ersten Fall sind die Stücke somit größer)

Fall 3: Kehrwert

Ist ein Bruch zusammen mit seinem Kehrwert gegeben, kannst Du ebenfalls leicht entscheiden, was größer ist.

Hierzu musst Du aber erst folgendes wissen:

Wann ist ein Bruch größer als 1?

Ein Bruch ist genau dann größer als 1, wenn der Zähler größer als der Nenner ist.

Warum? Wenn Du zum Beispiel mehr Äpfel als Freunde hast und ihr teilt sie gleichmäßig unter Euch auf, dann bekommt jeder natürlich mehr als einen Apfel.

Erinnere Dich, dass der Bruchstrich nur eine andere Schreibweise für "geteilt durch" ist. Im Zähler steht dann die Anzahl der Äpfel, im Nenner die Anzahl der Kinder.

Wann ist ein Bruch kleiner als 1?

Ein Bruch ist genau dann kleiner als 1, wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist.

Warum? Gleiche Begründung: Hast Du weniger Äpfel als Freunde und ihr teilt sie gleichmäßig unter Euch auf, dann bekommt jeder weniger als einen Apfel.

Wann hat ein Bruch den Wert 1?

Ein Bruch ist genau dann den Wert 1, wenn der Zähler gleich dem Nenner ist.

Du ahnst warum... Werden zum Beispiel 4 Äpfel unter 4 Freunden gleichmäßig aufgeteilt, dann bekommt jeder genau einen Apfel.

Ist nun ein Bruch zusammen mit seinem Kehrwert gegeben, dann gilt immer (zumindest wenn Zähler und Nenner verschieden sind), dass einer dieser beiden Brüche größer als 1 und der andere kleiner als 1 ist!

Warum? Ist bei einem Bruch zum Beispiel der Zähler größer (oder auch kleiner) als der Nenner, dann ist es beim Kehrwert genau umgekehrt.

Somit ist der Bruch größer als sein Kehrwert, wenn er größer als 1 ist.
Der Bruch ist kleiner als sein Kehrwert, wenn er kleiner als 1 ist.

Beispiel :  7  >  3  denn  7  ist größer als 1
3 7 3

Und was ist, wenn Zähler und Nenner gleich groß sind?

Dann sind Bruch und Kehrwert natürlich auch gleich. Als Zahl haben beide den Wert 1.

Wann sind zwei Brüche gleich groß?

Zwei Brüche haben genau dann den gleichen Wert, wenn Zähler und Nenner jeweils das gleiche Vielfache voneinander sind.

Stell Dir vor, Du hast ein großes Stück Kuchen, also 1/8 Kuchen.

Schneide nun dieses Stück genau in der Mitte durch, so dass Du zwei gleich große kleinere Stücke Kuchen erhälst.

Wie groß sind diese Stücke? Würde man jedes der Acht Kuchenstücke auf diese Weise teilen, so hätte man genau doppelt so viele, also 16.

Es gilt also:

      

1  =   2
8 16

Sowohl Zähler als auch Nenner wurden mit der Zahl 2 multipliziert.

Ein anderes Beispiel :  9  =  36
3 12

Hier wurden sowohl Zähler als auch Nenner mit dem Faktor 4 erweitert. Rechne nach: sowohl 9 geteilt durch 3 als auch 36 geteilt durch 12 ergibt den gleichen Wert 3.

Aber genau das ist eigentlich schon Thema des nächsten Kapitels ...

Herzlichen Glückwunsch! Schritt 2 ist geschafft!

Im zweiten Schritt hast Du gelernt, dass ein Bruch als Zahl dargestellt werden kann und umgekehrt. Die Menge aller Brüche entspricht der Menge der Rationalen Zahlen.

In einigen Fällen lässt sich leicht entscheiden, welcher von zwei gegebenen Brüchen der größere ist: Zum Beispiel, wenn der Zähler oder Nenner gleich ist, oder wenn die beiden Brüche der Kehrwert voneinander sind.

Nimm Dir zum Abschluss von Schritt 2 bitte eine Minute Zeit für die Verständnis-Fragen:

Weiter geht's mit: Fragen zu Schritt 2