Einführung - größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Sind Mona und Max ein Paar?

Mona mag Max. Und Max mag Mona. Mal schauen, ob sie auch zusammenpassen ...

Mona:

  • hört gerne Musik
  • geht gerne Schwimmen
  • mag Pferde
  • isst gerne Pizza
  • spielt Klavier

Max:

  • hört gerne Musik
  • geht gerne Schwimmen
  • mag Hunde
  • isst gerne Pizza
  • spielt Schlagzeug

gemeinsam haben Mona und Max:

  • hört gerne Musik
  • geht gerne Schwimmen
  • isst gerne Pizza
Was ist der ggT von 12 und 980?

Auf der Seite zur Primfaktorzerlegung haben wir folgende Zerlegungen für die Zahlen 12 und 980 gefunden:

  • 2 * 2 * 3 = 12
  • 2 * 2 * 5 * 7 * 7 = 980

Was ist nun der größter gemeinsame Teiler (ggT) dieser Zahlen?

Gehe genauso vor wie bei Mona und Max und Suche die Gemeinsamkeiten: In beiden Zahlen steckt 2 * 2.

Der größter gemeinsame Teiler von 12 und 980 ist somit 4.

Bedeutung des größten gemeinsamen Teilers (ggT)

Es lohnt, sich einmal kurz Gedanken über die Bedeutung des Begriffes größter gemeinsamer Teiler zu machen.

Der ggT bezieht sich immer auf mindestens 2 gegebene Zahlen und stellt eine Zahl dar, durch die sich alle diese Zahlen ohne Rest teilen lassen. Deshalb "gemeinsamer Teiler".

Ein weiterer gemeinsamer Teiler von 12 und 980 wäre 2.

Nun geht es aber nicht um irgendeinen gemeinsamen Teiler, sondern um den größten!

Es gibt keinen größeren gemeinsamen Teiler von 12 und 980 als die 4.

Kürzt man einen Bruch mit dem ggT von Zähler und Nenner, so kann man ihn direkt in seine vollständig gekürzte Form bringen.

Berechnung des ggT durch Primfaktorzerlegung

Finde den größter gemeinsame Teiler (ggT) von mehreren Zahlen, indem Du sie zunächst in Primfaktoren zerlegst und anschließend alle gemeinsamen Primfaktoren miteinander multiplizierst.

Als Nebenrechnung kannst Du Dir eine Tabelle anlegen:

  • Trage in der ersten Zeile als �berschrift die Primfaktoren ein
  • Trage für jede Zahl in einer eigenen Zeile ein, wie oft der jeweilige Primfaktor in der Zerlegung vorkommt; Schreibe die Zahl in die letzte Spalte
  • Die Primfaktoren des größten gemeinsamen Teilers (ggT) erhältst Du, indem Du in der letzten Spalte jeweils die minimale Anzahl jedes Primfaktoren einträgst
  • Berechne schließlich das kgV, indem Du seine Primfaktoren miteinander multiplizierst. Trage das Ergebnis in das Feld rechts unten ein.

Beispiel: Bestimme den ggT durch Primfaktorzerlegung

Noch ein Beispiel: Finde den ggT von 297, 1386 und 396!

Die Zerlegung von 297:
Teste auf 2 -> 297 : 2 = geht nicht auf
Teste auf 3 -> 297 : 3 = 99 -> erster Primfaktor: 3
Teste auf 3 -> 99 : 3 = 33 -> zweiter Primfaktor: 3
Teste auf 3 -> 33 : 3 = 11 -> dritter Primfaktor: 3

Die 11 ist selbst eine Primzahl, somit sind wir fertig. Die Zerlegung lautet somit: 3 * 3 * 3 * 11 = 297

In der Tabelle sieht das dann so aus:


Die Zerlegung von 1386:
Teste auf 2 -> 1386 : 2 = 693 -> erster Primfaktor: 2
Teste auf 2 -> 693 : 2 = geht nicht auf
Teste auf 3 -> 693 : 3 = 231 -> zweiter Primfaktor: 3
Teste auf 3 -> 231 : 3 = 77 -> dritter Primfaktor: 3
Teste auf 3 -> 77 : 3 = geht nicht auf
Teste auf 5 -> 77 : 5 = geht nicht auf
Teste auf 7 -> 77 : 7 = 11 -> vierter Primfaktor: 7

Die 11 ist selbst eine Primzahl, somit sind wir fertig. Die Zerlegung lautet somit: 2 * 3 * 3 * 7 * 11 = 1386

Füge der Tabelle eine weitere Zeile für die Zahl 1386 zu:


Die Zerlegung von 396:
Teste auf 2 -> 396 : 2 = 198 -> erster Primfaktor: 2
Teste auf 2 -> 198 : 2 = 99 -> zweiter Primfaktor: 2
Teste auf 2 -> 99 : 2 = geht nicht auf
Teste auf 3 -> 99 : 3 = 33 -> dritter Primfaktor: 3
Teste auf 3 -> 33 : 3 = 11 -> vierter Primfaktor: 3

Die 11 ist selbst eine Primzahl, somit sind wir fertig. Die Zerlegung lautet somit: 2 * 2* 3 * 3 * 11 = 396

Und noch eine Zeile f�r die Zahl 396:


Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, müssen wir nur noch die gemeinsamen Primfaktoren der 3 Zahlen bestimmen und miteinander multiplizieren.

Der größte gemeinsame Teiler von 297, 1386 und 396 ist:
3 * 3 * 11 = 99.

Trage hierfür in der Tabelle in einer neuen Zeile die minimale Anzahl (oft ist das 0) des jeweiligen Primfaktors ein. Berechne schließlich den ggT, indem Du seine Primfaktoren miteinander multiplizierst. Trage das Ergebnis in das Feld rechts unten ein:


Weiter geht's mit: "kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)"