Einführung - Zwei Brüche auf den Hauptnenner bringen

Spanien oder Finnland?

Beantworten wir nun die Frage, ob Spanien oder Finnland das nähere Urlaubsziel ist.

Die Antwort ist ...

Es kommt drauf an! Es kommmt darauf, wo man sich in Deutschland befindet und wo man hin möchte.

Beantworten wir also die andere offene Frage, ob 3/7 oder 7/15 größer ist.

Nimm hierfür das Werkzeug erweitern an die Hand. Das Ziel ist es, die beiden Brüche so zu erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben.

Diesen Vorgang bezeichnet man als "auf den Hauptnenner bringen" oder die "Brüche gleichnamig machen".

Hauptnenner von 3/7 und 7/15

Hauptenner finden - "einfaches" Verfahren

Dieser Trick funktioniert immer:

  • Erweitere den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruches
  • Erweitere den zweiten Bruch mit dem Nenner des ersten Bruches

Also:

3  =  3 * 15  =  45
7 7 * 15 105

7  =  7 * 7  =  49
15 15 * 7 105

Beide Brüche liegen nun in der "gleichen Richtung", so dass man leicht sehen kann, dass 7/15 der größere Bruch ist.

Der Trick funktioniert wunderbar, hat aber einen kleinen Haken...

Hauptnenner von 5/9 und 7/12

Gesucht ist nun der Hauptnenner von 5/9 und 7/12.

Wendet man auch hier das "einfache" Verfahren an, ergibt sich:

 5   =   5 * 12   =   60 
9 9 * 12 108

 7   =     7 * 9   =   63 
12 12 * 9 108

Die Rechnung ist richtig, aber die Zahlen sind größer als sie sein müssten, so dass das Rechnen komplizierter wird und man sich schnell einmal verrechnen kann.

In den meisten Fällen geht man deshalb am besten so vor:

Hauptenner finden - durch Probieren

Probiere, ob der kleinere Nenner in den größeren "hineinpasst".
  => Falls ja ist der Hauptnenner gefunden.

Falls nein, probiere ob der kleinere Nenner in das Doppelte des größeren "hineinpasst".
  => Falls ja ist der Hauptnenner gefunden.

Falls nein, probiere ob der kleinere Nenner in das Dreifache des größeren "hineinpasst".
  => Falls ja ist der Hauptnenner gefunden.

Falls nein, probiere ...

Passt die 9 in die 12? -> Nein
Passt die 9 in die 24? -> Nein
Passt die 9 in die 36? -> Ja, denn 4 * 9 = 36!

Die beiden Brüche sind somit auf 36-stel zu erweitern:

 5   =   5 * 4   =   20 
9 9 * 4 36

 7   =     7 * 3   =   21 
12 12 * 3 36

Dieses Verfahren funktioniert gut, wenn die Zahlen nicht zu groß sind. Ansonsten...

Hauptnenner von 1/12 und 1/980

Suchen wir abschlie�end noch den Hauptnenner von 1/12 und 1/980.

Hierfür benutzen wir neben dem Erweitern noch ein zweites Werkzeug, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV):

Hauptenner finden - durch kgV

  1. Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner.
  2. Erweitere die beiden Brüche, so dass die Nenner dem kgV entsprechen.

Auf der Seite zur Primfaktorzerlegung haben wir folgende Zerlegungen für die Zahlen 12 und 980 gefunden:

  • 2 * 2 * 3 = 12
  • 2 * 2 * 5 * 7 * 7 = 980

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 980 ist somit
2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 7 = 2940.

Womit muss nun erweitert werden?

Die erste Möglichkeit ist, das kgV durch die beiden Zahlen zu teilen:
2940 : 12 = 245
2940 : 980 = 3

Die zweite Möglichkeit ist, mit den Primfaktoren zu erweitern, die nur in der jeweils anderen Zahl enthalten sind. Klingt komplizierter als es ist:
12 wird erweitert mit 5 * 7 * 7 = 245
980 wird erweitert mit 3

 1  =    1 * 245  =   245 
12 12 * 245 2940

  1   =      1 * 3  =    3  
980 980 * 3 2940


Herzlichen Glückwunsch! Schritt 3 ist geschafft!

Im dritten Schritt hast Du Deinen Werkzeugkasten mit eingigen Hilfsmitteln gefüllt, welche Du für das Rechnen mit Brüchen brauchst.

Unbedingt wissen musst Du,:

  • dass man einen Bruch erweitert, indem man seinen Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert
  • dass man einen Bruch kürzt, indem man seinen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert
  • wie man einen Bruch vollständig kürzt
  • wie man zwei Brüche auf den Hauptnenner bringt (= gleichnamig macht)

Nimm Dir zum Abschluss von Schritt 3 bitte eine Minute Zeit für die Verständnis-Fragen:

Weiter geht's mit: Fragen zu Schritt 3