Wie kann man Brüche Kürzen?

Lerne diesen Zaubertrick!

Erinnerst Du Dich noch an unsere Party mit dem Zauberer?

Nach der Party waren noch 10 Stücke Kuchen übriggeblieben. Der letzte Trick unseres Zauberers bestand darin, dass er 8 Stücke davon wie bei einem Puzzle wieder zu einem ganzen Kuchen zusammensetzte.

Einen ähnlichen Trick sollst auch Du nun lernen!

Angenommen, Du hast vier kleine Stücke Kuchen. Also

 4  Kuchen
16

Deine Freunde und Du habt Euch nun aber doch für Kekse entschieden, so dass der Kuchen wieder zurück in den Kühlschrank sollte. Und wenn er noch nicht geschnitten wäre, würde er sich noch besser halten. Also was tun?

Jetzt müsste man zaubern können - aus 4 kleinen Stücken zaubere 1 Riesenstück!

Auf den ganzen Kuchen bezogen: Wie groß wäre dieses Riesenstück?

Beim Erweitern hast Du ein großes Stück in zwei kleine Stücke geteilt. Versuchen wir es nun umgekehrt, aus 2 mach 1.

Aus 4 kleinen Stücken werden somit 2 große Stücke Kuchen.

Wie groß sind diese Stücke? Doppelt so groß wie die kleinen Stücke, d.h. beim Teilen des ganzen Kuchens hätte man statt 16 Kuchenstücke nur 8 Kuchenstücke erhalten:

   

 4  Kuchen =  2  Kuchen
16 8

Da es so gut geklappt hat, wiederholen wir den Trick gleich noch einmal: Aus den 2 Stücken wird dann 1 Stück mit der Größe von einem Viertel des ganzen Kuchens:

       

 4  Kuchen   =    2  Kuchen   =    1  Kuchen
16 8 4

Sowohl Zähler als auch Nenner wurden durch die Zahl 2 dividiert.

Regel zum Kürzen von Brüchen

Kürze einen Bruch, indem Du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividierst. Der Wert des Bruches ändert sich hierbei nicht!

Noch ein Beispiel:

Bruch Kürzen - Beispiel

Noch ein Beispiel :  42  =  6
21 3

Hier wurden sowohl Zähler als auch Nenner durch den Divisor 7 geteilt. Rechne nach: sowohl 6 geteilt durch 3 als auch 42 geteilt durch 21 ergibt das gleiche Ergebnis 2.

Brüche vollständig Kürzen

Das Ziel beim Kürzen ist meistens, den Bruch in eine Form zu bringen, bei der sich der Bruch nicht mehr weiter Kürzen lässt. Man sagt dann, der Bruch ist vollständig gekürzt. Das ist genau dann der Fall, wenn es keinen gemeinsamen Teiler (größer als 1) von Zähler und Nenner gibt.

Willst Du einen Bruch direkt in einem Schritt vollständig Kürzen, so musst Du Zähler und Nenner mit ihrem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzen. Für seine Berechnung gibt es zwei Verfahren: Die Primfaktorzerlegung und den Euklidschen Algorithmus. Du kannst Dir eine dieser beiden Möglichkeiten aussuchen.

Wenn Du einen Bruch vollständig Kürzen willst, dann schau ihn Dir aber erst einmal genau an. In manchen Fällen ist es gar nicht so schwer, eine Kürungszahl für Zähler und Nenner zu finden und den Bruch so erst einmal zu vereinfachen. Es muss nicht sofort der ggT gefunden werden, manchmal ist es einfacher in mehreren Durchgängen zu kürzen.

Wann kann man einen Bruch nicht mehr Kürzen?

Ein Bruch lässt sich ganz sicher nicht mehr weiter kürzen, wenn eine dieser Bedingungen zutrifft:

1) Im Zähler oder Nenner steht eine 1

Die 1 hat nur einen Teiler, nämlich sich selbst. Somit muss der größte gemeinsame Teiler (ggT) zwischen 1 und irgendeiner anderen Zahl ebenfalls immer 1 sein. Einen Bruch kürzen mit 1 ist aber sinnlos, da sich Zähler und Nenner beim Teilen durch 1 ja nicht verändern.

2) Im Zähler oder Nenner steht eine Primzahl

Erkennst Du im Zähler oder Nenner eine Primzahl, dann musst Du nur noch prüfen, dass beide nicht ein Vielfaches voneinander sind. Entweder kannst Du das direkt sehen, oder Du musst es schnell ausrechnen.

Das ist ein Grund, warum Du unbedingt zumindest die ersten Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) auswendig wissen solltest.

3) Die Differenz zwischen Zähler und Nenner beträgt 1

Ist der Unterschied zwischen Zähler und Nenner nur 1, dann kannst Du ebenfalls sicher sagen, dass der Bruch nicht mehr weiter gekürzt werden kann.

Wann kann man einen Bruch sicher noch Kürzen?

In der Bruchrechnung lässt sich ein Bruch kürzen, wenn es einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner gibt.

In einigen Fällen kannst Du ohne viel zu rechnen sagen, ob eine Zahl A (= Zähler und Nenner) durch eine Zahl B (mögliche Kürzungszahl) geteilt werden kann:

Teilbarkeit durch 2

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer gerade ist, also eine 0, 2, 4, 6, 8 ist.

Teilbarkeit durch 3

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 4

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.

Teilbarkeit durch 5

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist.

Teilbarkeit durch 6

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist UND die Quersumme durch 3 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 8

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind.

Teilbarkeit durch 9

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 10

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.

Teilbarkeit durch 25

Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75.

Teilbarkeit durch 100

Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine 0 sind.

Teilbarkeit durch 1000

Eine Zahl ist durch 1000 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern eine 0 sind.

Brüche Kürzen durch Probieren

Wenn Du schon etwas geübt bist und ein wenig Erfahrung mit dem Kürzen von Brüchen hast, schau Dir den Bruch einfach nochmal gut an. Oft hast Du so schon eine Zahl im Verdacht, mit der der Bruch noch gekürzt werden könnte. Probiere es mit dieser Zahl einfach mal aus.

Ein guter Trick ist es manchmal auch, zu testen, ob mit der Differenz aus Zähler und Nenner gekürzt werden kann bzw. mit einem Teiler dieser Differenz.

Brüche Kürzen Online üben

Hier kannst Du Brüche Kürzen Online üben. Die ersten 3 Übungen sind "zum Aufwärmen" ;-)

Für das späterere Rechnen mit Brüchen sind Nummer 4 und 5 ganz wichtige Übungen! Als Voraussetzung für diese beiden empfehle ich zunächst die Übung Ist A teilbar durch B?.

  1. Kürze den Bruch mit der angegebenen Kürzungszahl.
  2. Bestimme die Kürzungszahl und den Nenner.
  3. Bestimme die Kürzungszahl und den Zähler.
  4. Gib an - möglichst ohne zu rechnen - ob der angegebene Bruch bereits vollständig gekürzt ist .
  5. Kürze den angegebenen Bruch so weit wie möglich.
Solltest Du mit den Aufgaben Probleme haben, dann schau Dir zunächst den Tipp und die Musterlösung an


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