"Eigenschaften" von Zahlen

Was macht Mona aus?

Mona ist sehr beliebt in ihrer Klasse. Sie hat folgende Eigenschaften:

  • hört gerne Musik
  • geht gerne Schwimmen
  • mag Pferde
  • isst gerne Pizza
  • spielt Klavier

Zahlen haben ebenfalls Eigenschaften, zum Beispiel die Zahl 12:

Durch 1 und sich selbst ist jede Zahl teilbar, deshalb ist das ungefähr so interessant wie zu sagen, dass Mona einmal im Jahr Geburtstag und Augen, Ohren und Nase hat.

Besonders wichtig sind aber die Teiler 2 und 3. Denn hierbei handelt es sich um Primzahlen:

Definition: Primzahl

Eine Primzahl hat genau 2 Teiler, nämlich 1 und sich selbst.

Die 1 ist keine Primzahl.

Die ersten Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
Versuche weitere zu finden!

Zumindest die ersten Primzahlen solltest Du am besten auswendig wissen, dann hast Du es einfacher.

Übungsaufgabe:
Mit dieser wichtigen Übung lernst Du zu erkennen, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist.

Solltest Du hiermit Probleme haben, schau Dir bitte den Tipp und die Musterlösung an.


Definition: Faktor und Primfaktor

Faktoren nennt man die beiden Zahlen, die man bei der Multiplikation miteinander "mal nimmt":

Faktor * Faktor = Produkt

Wir suchen also Primzahlen, die miteinander multipliziert das Ergebnis 12 ergeben. Diese nennen wir dann Primfaktoren

Primfaktorzerlegung

Versuche nun, die Zahl 12 in Primfaktoren zu zerlegen:


Schritt 1: Teste die 12 auf die erste Primzahl, die 2:

Dividiere hierzu die 12 durch 2:
12 : 2 = 6

Da die Division ohne Rest aufgeht, ist der erste Primfaktor (die 2) gefunden!

Die erste Zerlegung der Zahl 12 ist 2 * 6 = 12

Die 6 ist keine Primzahl, also versuchen wir sie noch weiter zu zerlegen:

Schritt 2: Teste die 6 auf die erste Primzahl, die 2:

Dividiere hierzu die 6 durch 2:
6 : 2 = 3

Da die Division ohne Rest aufgeht, ist der zweite Primfaktor (ebenfalls die 2) gefunden!

Die neue Zerlegung der Zahl 12 ist 2 * 2 * 3 = 12

Da die 3 ist eine Primzahl ist,ist die Zahl 12 nun vollständig in Primfaktoren zerlegt: 2 * 2 * 3 = 12


Noch ein komplizierteres Beispiel:
Suche eine Zerlegung für die Zahl 980:

Teste auf 2 -> 980 : 2 = 490 -> erster Primfaktor: 2
Teste auf 2 -> 490 : 2 = 245 -> zweiter Primfaktor: 2
Teste auf 2 -> 245 : 2 = geht nicht auf
Teste auf 3 -> 245 : 3 = geht nicht auf
Teste auf 5 -> 245 : 5 = 49 -> dritter Primfaktor: 5
Teste auf 5 ->  49 : 5 = geht nicht auf
Teste auf 7 ->  49 : 7 = 7 -> vierter Primfaktor: 7

Die 7 ist selbst eine Primzahl, somit sind wir fertig. Denke daran, dass sie unser fünfter und letzter Primfaktor ist. Die Zerlegung lautet somit:

2 * 2 * 5 * 7 * 7 = 980

Noch einmal etwas übersichtlicher:


Weiter geht's mit: "größter gemeinsamer Teiler (ggT)"